Dominio Continuo (Paper I)¶

Descripción General¶

El motor continuo aísla singularidades (raíces y atractores) de campos vectoriales \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) sin linealizar el Jacobiano. En su lugar, combina tres componentes:

IOB-QuadTree — bisección recursiva del espacio de fases.
Filtro TVI — test de cambio de signo en \(\mathcal{O}(N)\) para descartar subdominios sin raíces.
IOB-FFT — razón de energía espectral de alta frecuencia como criterio de integridad final.

IOB-QuadTree¶

El SpatialPartitionEngine bisecta recursivamente un hipercubo \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) en \(2^n\) subdominios. En cada nodo, el cierre CriterioIntegridad decide si el subdominio contiene una singularidad; si no, la rama se poda. El árbol tiene como máximo \(2^{n \cdot d}\) hojas para profundidad \(d\).

from iobsolve.core.partition import SpatialPartitionEngine

motor = SpatialPartitionEngine(max_depth=10)
dominio = ((-5.0, 5.0), (-5.0, 5.0))

def mi_criterio(subdominio):
    # Retorna True si el subdominio puede contener una singularidad
    return ...

nodo_raiz = motor.isolate_singularities(dominio, mi_criterio)
hojas = motor.extract_singular_manifolds(nodo_raiz)

Filtro TVI¶

Antes de calcular la FFT, el mapeador verifica si cada componente de \(F\) cambia de signo dentro del subdominio. Este es el Teorema del Valor Intermedio aplicado componente a componente — condición necesaria para la existencia de una raíz:

\[\min_\Omega F_c \leq 0 \leq \max_\Omega F_c \quad \forall c\]

El filtro TVI elimina la mayoría de los subdominios en \(\mathcal{O}(N)\) (una sola pasada de min/max), evitando la FFT de \(\mathcal{O}(N \log N)\) sobre regiones vacías.

Criterio Espectral IOB-FFT¶

Para los subdominios que pasan el TVI, se calcula el estrés espectral \(\mathcal{Q}_\text{spec}\):

\[\mathcal{Q}_\text{spec} = \frac{\sum_{\nu > \nu_c} \sum_c |\mathcal{F}_c(\nu)|^2} {\sum_\nu \sum_c |\mathcal{F}_c(\nu)|^2}\]

Una ventana de Tukey con taper_fraction=0.15 suprime el spectral leakage antes de la FFT. El subdominio se marca como singular si \(\mathcal{Q}_\text{spec} > \tau_c\).

FlowTheoremLocator¶

from iobsolve.continuous.flow_theorem import FlowTheoremLocator
from iobsolve.plugins.continuous.singularities import TranscendentalManifold

locator = FlowTheoremLocator(
    system_equation=TranscendentalManifold(),
    grid_resolution=16,        # malla FFT local
    spectral_threshold=1e-3,   # τ_c
    require_sign_change=True,
    device="cpu",              # o "cuda"
)

raices = locator.locate_root_centroids(
    initial_domain=((-10.0, 10.0), (-2.0, 2.0)),
    max_depth=8,
)

Operador de Integridad Continuo¶

El ContinuousIntegrityOperator calcula \(\mathcal{H}(x) = |\nabla^2\phi(x)|\) como un campo de estrés diferenciable utilizable como pérdida en PyTorch:

import torch
from iobsolve.core.space import EuclideanManifold
from iobsolve.continuous.hinge import ContinuousIntegrityOperator

op = ContinuousIntegrityOperator()
variedad = EuclideanManifold(shape=(64, 64), grid_spacing=0.05)
campo = torch.randn(64, 64, dtype=torch.float64, requires_grad=True)

estres = op.compute_stress(campo, manifold=variedad, normalize=True)
perdida = estres.mean()
perdida.backward()  # los gradientes fluyen a través del Laplaciano